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B002523 - MATEMATICA PER LE SCIENZE SOCIALI
Principali informazioni
Libri di testo consigliati
Obiettivi Formativi
Prerequisiti
Metodi Didattici
Modalità di verifica apprendimento
Programma del corso
Anno Accademico 2010-11
Coorte 2010 - Laurea Magistrale in SOCIOLOGIA E RICERCA SOCIALE
Anno di corso
Primo Anno - Secondo Semestre
Dipartimento di Afferenza
Scienze Politiche e Sociali
Tipo insegnamento
Attività formativa monodisciplinare
Settore Scientifico disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Crediti Formativi
9
Ore Didattica
72
Periodo didattico
01/03/2011 ⇒ 03/06/2011
Frequenza Obbligatoria
No
Tipo Valutazione
Voto Finale
Programma del corso
mostra
Docenza
Libri di testo consigliati (Cerca nel catalogo della biblioteca)
Dispense e materiali forniti dai docenti
Obiettivi Formativi
CONOSCENZE: Il corso è dedicato all’insegnamento di strumenti matematici di base di vasta utilizzazione: argomenti scelti di algebra lineare, di analisi matematica, e di teoria delle equazioni differenziali. E`appositamente strutturato per studenti di scienze sociali.
COMPETENZE: Anche per mezzo di esercitazioni tecniche miste alle lezioni, il corso vuole fornire agli studenti le competenze necessarie per capire/costruire modelli matematici che interpretano questionii semplici ma molto significative per le scienze sociali.
Capacità acquisite al termine del corso: capacita` di attrezzare un laboratorio mentale personale che aiuti lo studente ad affronatare, ponendosi le domande giuste, e a modellizzare problematiche significative in scienze sociali.
COMPETENZE: Anche per mezzo di esercitazioni tecniche miste alle lezioni, il corso vuole fornire agli studenti le competenze necessarie per capire/costruire modelli matematici che interpretano questionii semplici ma molto significative per le scienze sociali.
Capacità acquisite al termine del corso: capacita` di attrezzare un laboratorio mentale personale che aiuti lo studente ad affronatare, ponendosi le domande giuste, e a modellizzare problematiche significative in scienze sociali.
Prerequisiti
Conoscenze matematiche di base acquisite nella scuola media superiore.
Metodi Didattici
24+24+24=72
Modalità di verifica apprendimento
test scritti + prova orale.
Programma del corso
Lo sviluppo de programma e` accompagnato da numerosi esempi, esercizi ed applicazioni significative in scienze sociali.
Primo modulo: Richiami di linguaggio logico e calcolo delle proposizioni: i connettivi logici e le loro tavole di verita`. I quantificatori esistenziale ed universale ed il loro uso. La dimostrazione per assurdo. Richiami di teoria degli insiemi: complementare di un insieme, unione, intersezione, differenza simmetrica di insiemi. I pericoli della teoria degli insiemi: il paradosso di Russell. Il prodotto cartesiano di insiemi. Funzioni, funzioni iniettive, surgettive, bigettive. Insiemi finiti ed infiniti: l'esempio dell'albergo con infinite camere. Immagini e controimmagini di insiemi attraverso una funzione. Composizione di funzioni. Esempi di gruppi: i movimenti rigidi che lasciano invariato un triangolo equilatero. Definizione di gruppo e di gruppo abeliano: esempi. Matrici a coefficienti reali. Moltiplicazione di matrici. Moltiplicazioni di matrici per uno scalare. Lo spazio vettoriale delle matrici con n righe ed m colonne. Sistemi lineari: esempi concreti. Matrice dei coefficienti di un sistema lineare, matrice delle incognite e matrice dei termini noti. Matrice completa associata ad un sistema lineare. Forma a scala per righe e forma a scala per righe ridotta di una matrice: metodo di riduzione di Gauss. Forma a scala per righe ridotta della matrice completa associata ad un sistema lineare e risolubilita` del sistema lineare associato. Sistemi lineari omogenei. Caratterizzazione dei casi di esistenza ed unicita` della soluzione di un sistema lineare. Rango di una matrice. Matrici quadrate. Matrici quadrate di rango massimo e loro forma a scala ridotta. Le matrici quadrate di rango massimo formano un gruppo: la matrice identita`; costruzione dell'inversa di una matrice quadrata di rango massimo mediante il metodo di Gauss. Equivalenza, per una matrice quadrata, tra: a) invertibilita`; b) rango massimo; c) forma a scala ridotta uguale all'identita`; c) unicita` della soluzione del sitema lineare omogeneo associato. Il determinante di una matrice quadrata: sviluppo col metodo di Laplace. Proprieta` del determinante di una matrice, anche in relazione alla riduzione in forma a scala per righe. Determinante ed invertibilita`. Risolubilita` di un sistema lineare generico ad n equazioni ed m incognite: discussione sull'esistenza e sulla "quantita`" delle soluzioni, al variare di n, m, del rango della matrice dei coefficienti e del rango della matrice completa. Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Matrici diagonali. Diagonalizzazione di una matrice quadrata: il teorema spettrale
Secondo modulo: Funzioni reali di variabile reale: primi esempi, le funzioni affini. Grafico di funzioni. Iniettivita`, surgettivita` e bigettivita` di funzioni "lette" sul loro grafico. Esempi ed esercizi riguardanti funzioni polinomiali. Studio e proprieta` delle funzioni di tipo esponenziale e logaritmico. Funzioni trigonometriche: costruzione e studio delle principali proprieta` delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. Uso delle funzioni trigonometriche per la misura degli angoli: coefficiente angolare delle rette del piano cartesiano e suo significato trigonometrico. Definizione di limite di una funzione f(x) per x che tende all'infinito e suo significato. Caso del limite per x che tende a - infinito. Esistenza del limite finito o infinito; caso della non esistenza del limite. Calcolo dei limiti delle funzioni elementari: costruzione di una tabella di limiti significativi. Definizione di limite di una funzione f(x) per x che tende ad un valore a finito del dominio. Verifiche dirette di esistenza del limite nel caso delle funzioni elementari. Teoremi sul calcolo dei limiti (senza dimostrazione): limite della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni. Casi indeterminati e loro risoluzione in situazioni molto elementari. Derivata di una funzione in un punto del dominio di definizione e suo significato geometrico. Funzioni derivabili. Esistenza del limite di (x+1/x)^x per x che tende ad infinito e numero "e" di Nepero. Calcolo della derivata di funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Ruolo del calcolo dei limiti e delle derivate nello studio di funzioni e dei loro punti di massimo, di minimo e stazionari. Calcolo della derivata della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente e della composizione di funzioni derivabili. Definizione di primitiva di una funzione: equazioni differenziali elementari. Studio della famiglia delle primitive di una funzione. Definizione di funzione continua. Calcolo dell'area "sottesa" dal grafico di una funzione continua rispetto all'asse delle ascisse, su un intervallo limitato della retta reale. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale e suo significato geometrico. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari. Calcolo dell'area sottesa dal grafico di una funzione continua rispetto all'asse delle ascisse, su un intervallo limitato, mediante l'uso delle sue primitive.
Terzo modulo: Esempi di Modelli matematici per le applicazioni. Modelli della fisica; leggi del moto, decadimento della radiattivita’, datazione col carbonio 14, l’oscillatore armonico, la legge del raffreddamento di Newton. Modelli della dinamica delle popolazioni: modello di Malthus, modello logistico, modello preda-predatore di Volterra. Modelli dell’economia: l’inflazione. Modelli della diffusione di informazioni, virus ed epidemie.
Argomenti scelti della teoria delle equazioni differenziali: problema di Cauchy, equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli, equazioni del I e II ordine a coefficienti costanti, studio qualitativo delle soluzioni di alcune altre classi di equazioni differenziali. Soluzioni approssimate.
Argomenti scelti di calcolo differenziale e integrale in piu’ variabili: differenziale di funzioni e massimi e minimi liberi e vincolati, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Modelli vari basati sull’uso di equazioni differenziali.
Primo modulo: Richiami di linguaggio logico e calcolo delle proposizioni: i connettivi logici e le loro tavole di verita`. I quantificatori esistenziale ed universale ed il loro uso. La dimostrazione per assurdo. Richiami di teoria degli insiemi: complementare di un insieme, unione, intersezione, differenza simmetrica di insiemi. I pericoli della teoria degli insiemi: il paradosso di Russell. Il prodotto cartesiano di insiemi. Funzioni, funzioni iniettive, surgettive, bigettive. Insiemi finiti ed infiniti: l'esempio dell'albergo con infinite camere. Immagini e controimmagini di insiemi attraverso una funzione. Composizione di funzioni. Esempi di gruppi: i movimenti rigidi che lasciano invariato un triangolo equilatero. Definizione di gruppo e di gruppo abeliano: esempi. Matrici a coefficienti reali. Moltiplicazione di matrici. Moltiplicazioni di matrici per uno scalare. Lo spazio vettoriale delle matrici con n righe ed m colonne. Sistemi lineari: esempi concreti. Matrice dei coefficienti di un sistema lineare, matrice delle incognite e matrice dei termini noti. Matrice completa associata ad un sistema lineare. Forma a scala per righe e forma a scala per righe ridotta di una matrice: metodo di riduzione di Gauss. Forma a scala per righe ridotta della matrice completa associata ad un sistema lineare e risolubilita` del sistema lineare associato. Sistemi lineari omogenei. Caratterizzazione dei casi di esistenza ed unicita` della soluzione di un sistema lineare. Rango di una matrice. Matrici quadrate. Matrici quadrate di rango massimo e loro forma a scala ridotta. Le matrici quadrate di rango massimo formano un gruppo: la matrice identita`; costruzione dell'inversa di una matrice quadrata di rango massimo mediante il metodo di Gauss. Equivalenza, per una matrice quadrata, tra: a) invertibilita`; b) rango massimo; c) forma a scala ridotta uguale all'identita`; c) unicita` della soluzione del sitema lineare omogeneo associato. Il determinante di una matrice quadrata: sviluppo col metodo di Laplace. Proprieta` del determinante di una matrice, anche in relazione alla riduzione in forma a scala per righe. Determinante ed invertibilita`. Risolubilita` di un sistema lineare generico ad n equazioni ed m incognite: discussione sull'esistenza e sulla "quantita`" delle soluzioni, al variare di n, m, del rango della matrice dei coefficienti e del rango della matrice completa. Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Matrici diagonali. Diagonalizzazione di una matrice quadrata: il teorema spettrale
Secondo modulo: Funzioni reali di variabile reale: primi esempi, le funzioni affini. Grafico di funzioni. Iniettivita`, surgettivita` e bigettivita` di funzioni "lette" sul loro grafico. Esempi ed esercizi riguardanti funzioni polinomiali. Studio e proprieta` delle funzioni di tipo esponenziale e logaritmico. Funzioni trigonometriche: costruzione e studio delle principali proprieta` delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. Uso delle funzioni trigonometriche per la misura degli angoli: coefficiente angolare delle rette del piano cartesiano e suo significato trigonometrico. Definizione di limite di una funzione f(x) per x che tende all'infinito e suo significato. Caso del limite per x che tende a - infinito. Esistenza del limite finito o infinito; caso della non esistenza del limite. Calcolo dei limiti delle funzioni elementari: costruzione di una tabella di limiti significativi. Definizione di limite di una funzione f(x) per x che tende ad un valore a finito del dominio. Verifiche dirette di esistenza del limite nel caso delle funzioni elementari. Teoremi sul calcolo dei limiti (senza dimostrazione): limite della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni. Casi indeterminati e loro risoluzione in situazioni molto elementari. Derivata di una funzione in un punto del dominio di definizione e suo significato geometrico. Funzioni derivabili. Esistenza del limite di (x+1/x)^x per x che tende ad infinito e numero "e" di Nepero. Calcolo della derivata di funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Ruolo del calcolo dei limiti e delle derivate nello studio di funzioni e dei loro punti di massimo, di minimo e stazionari. Calcolo della derivata della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente e della composizione di funzioni derivabili. Definizione di primitiva di una funzione: equazioni differenziali elementari. Studio della famiglia delle primitive di una funzione. Definizione di funzione continua. Calcolo dell'area "sottesa" dal grafico di una funzione continua rispetto all'asse delle ascisse, su un intervallo limitato della retta reale. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale e suo significato geometrico. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari. Calcolo dell'area sottesa dal grafico di una funzione continua rispetto all'asse delle ascisse, su un intervallo limitato, mediante l'uso delle sue primitive.
Terzo modulo: Esempi di Modelli matematici per le applicazioni. Modelli della fisica; leggi del moto, decadimento della radiattivita’, datazione col carbonio 14, l’oscillatore armonico, la legge del raffreddamento di Newton. Modelli della dinamica delle popolazioni: modello di Malthus, modello logistico, modello preda-predatore di Volterra. Modelli dell’economia: l’inflazione. Modelli della diffusione di informazioni, virus ed epidemie.
Argomenti scelti della teoria delle equazioni differenziali: problema di Cauchy, equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli, equazioni del I e II ordine a coefficienti costanti, studio qualitativo delle soluzioni di alcune altre classi di equazioni differenziali. Soluzioni approssimate.
Argomenti scelti di calcolo differenziale e integrale in piu’ variabili: differenziale di funzioni e massimi e minimi liberi e vincolati, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Modelli vari basati sull’uso di equazioni differenziali.